← L'année où l'IA change les maths
La conjecture jacobienne : 87 ans, puis un tweet
L'essence du problème
Prenez une transformation du plan (ou de l'espace) dont chaque coordonnée est un polynôme. Son jacobien mesure, en chaque point, le facteur par lequel elle dilate les volumes. Supposez ce facteur constant et non nul : la transformation ne comprime ni n'étire nulle part — comme la grille ci-contre, image d'un quadrillage par une vraie application polynomiale de jacobien 1 (la case rouge, déformée, garde exactement son aire). La conjecture, formulée en toute dimension par Ott-Heinrich Keller en 1939, affirme qu'une telle transformation est forcément inversible, avec une réciproque elle-même polynomiale. Énoncé d'apparence anodine, accessible à un étudiant de licence — et l'un des pièges les plus célèbres des mathématiques : des dizaines de preuves fausses ont été publiées en 87 ans, au point que Stephen Smale l'a inscrit en 1998 dans sa liste des dix-huit problèmes pour le XXIe siècle.
Les pas humains
Le cas de la dimension 1 est un exercice ; tout le reste résistait. Les travaux anciens (Beniamino Segre, Wolfgang Gröbner…) ont défriché le cas du plan et semé quelques-unes des fausses preuves qui ont donné au problème sa réputation. Hyman Bass, Edwin Connell et David Wright (1982) ont montré qu'il suffirait de traiter les applications de degré 3 — une réduction spectaculaire qui a orienté quarante ans d'efforts. D'autres ont relié la conjecture à des questions d'algèbre non commutative (l'équivalence avec la conjecture de Dixmier, par Tsuchimoto puis Belov-Kanel et Kontsevich). Tous cherchaient essentiellement dans la même direction : démontrer que c'était vrai.
Ce qu'a fait l'IA
En juillet 2026, Levent Alpöge, mathématicien chez Anthropic, oriente le modèle Claude Fable dans la direction opposée : chercher un contre-exemple. Le modèle en produit un en dimension 3, de jacobien constant égal à −2 — une formule assez courte pour tenir dans un message sur X, que n'importe quel spécialiste peut vérifier à la main en une journée. La conjecture est donc fausse en dimension 3 et au-delà. Deux remarques. D'abord, l'ironie : la version plane originelle (dimension 2) reste ouverte à ce jour — le contre-exemple ne s'y étend pas. Ensuite, la morale méthodologique : après 87 ans passés surtout à chercher des preuves, c'est une recherche d'exemples, systématique et sans a priori, qui a tranché. Les machines excellent à explorer les recoins où les humains n'avaient pas envie d'aller voir.
Les visages
Portraits : Wikimédia Commons — cliquer sur un visage pour la page correspondante.
Pour aller plus loin
- Claude Fable AI finds a tiny formula that topples an 87-year-old math conjecture — ScienceDaily, août 2026.
- Mathematicians grapple with a "very rapid and very unsettling change" — Fortune, juillet 2026.
- Jacobian conjecture — Wikipédia (en anglais), avec l'historique des réductions.