θ(p_c) = 0 : rien ne percole au point critique

Simulation de percolation près du seuil critique, plus grand amas en bleu

L'essence du problème

Prenez un immense grillage et ouvrez chaque arête au hasard, indépendamment, avec probabilité p : c'est la percolation, inventée par Broadbent et Hammersley (1957) pour modéliser un liquide traversant une roche poreuse. Le modèle a une transition de phase brutale : en dessous d'un seuil critique p_c, tous les amas de canaux ouverts sont finis ; au-dessus, un amas infini apparaît. On note θ(p) la probabilité qu'un site donné appartienne à un amas infini. La question maudite est celle du point critique lui-même : a-t-on θ(p_c) = 0, c'est-à-dire aucun amas infini juste au seuil ? L'image ci-contre (une vraie simulation, proche du seuil en dimension 2) montre pourquoi on le croit : le plus grand amas est immense, filamenteux… mais toujours fini.

Les pas humains

La réponse était connue aux deux extrémités de l'échelle des dimensions. En dimension 2 : Harris (1960) montre θ(1/2) = 0 sur le réseau carré, et Kesten (1980) prouve que p_c = 1/2, fermant le cas planaire. En très grande dimension : Hara et Slade (1990) inventent la « lace expansion » et concluent pour d ≥ 19, seuil ramené à d ≥ 11 par Fitzner et van der Hofstad (2017). Entre les deux — y compris notre bonne vieille dimension 3 — soixante ans de blocage, malgré une école probabiliste brillante (Hugo Duminil-Copin a reçu la médaille Fields 2022 pour ses avancées sur ces modèles). En 2024, Gady Kozma et Shahaf Nitzan reformulent l'obstacle : ils énoncent une conjecture sur des graphes généraux et démontrent qu'elle implique θ(p_c) = 0 en toute dimension. La marche manquante était identifiée.

Ce qu'a fait l'IA

Début septembre 2026, un document produit par Claude (Anthropic), accompagné d'une vérification formelle en Lean, apporte une solution positive à la conjecture de Kozma-Nitzan — et donc, d'un coup, θ(p_c) = 0 pour toutes les dimensions d ≥ 2. La nouvelle a été annoncée par le combinatoricien Gil Kalai sur son blog. Deux remarques d'hygiène scientifique, que Kalai fait lui-même : la formalisation Lean garantit la chaîne logique, mais il faut encore que des experts vérifient que l'énoncé formalisé est bien le bon, et la relecture humaine se poursuit. Et le mérite se partage : sans la réduction de Kozma et Nitzan, il n'y aurait eu ni marche à franchir, ni preuve à écrire.